MATEMÁTICA


Desde Infantil a Bachillerato

BUENO..... SOY LA SEÑO ANALÍA Y AQUÍ VAMOS A COMPARTIR  EJERCICIOS Y TEMAS RELACIONADOS A MATEMÁTICA....




Las operaciones básicas

En matemáticas básicas hay muchas maneras de llamar a las mismas cosas. Hemos reunido algunas aquí 
Símbolo
Palabras que se usan
+
Suma, adición, más, juntar, incrementar, total
-
Resta, sustraer, sustracción, menos, diferencia, 
decrecer, disminuir, quitar, deducir
×
Multiplicación, multiplicar, producto, por, veces
÷
División, dividir, cociente, cuántas veces cabe

Sumar es...

... juntar dos o más números (o cosas) para hacer un nuevo total.
Los números que se suman se llaman "sumandos":suma

Restar es...

... quitar un número de otro.
Minuendo - Sustraendo = Diferencia

Minuendo - Sustraendo = Diferencia
Minuendo: el número al que se le quita algo.
Sustraendo: el número que se quita.
Diferencia: el resultado de restar un número menos otro.

Multiplicación es...

... (en su forma más simple) sumas repetidas.
Aquí vemos que 6+6+6 (tres 6s) hacen 18
También podemos decir que 3+3+3+3+3+3 (seis 3s) hacen 18
multiplicación
Pero puedes multiplicar por fracciones o decimales, eso va más allá de la simple idea de sumas repetidas:
Ejemplo: 3.5 × 5 = 17.5
que quiere decir 3.5 veces 5, o 5 veces 3.5

 PROPIEDADES MULTIPLICACIÓN:
  • Propiedad conmutativa: el orden de los factores no altera el producto (4 x 3 = 3 x 4).
  • Propiedad asociativa: cuando se multiplican 3 o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden en el que se multipliquen los factores ( (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) )
  • Propiedad distributiva: el producto de una suma o resta por un número es igual a la suma o resta de los productos de cada uno de esos números por el número.

División es...
... repartir en partes o grupos iguales. Es el resultado de un "reparto equitativo".
La división tiene su propias palabras que aprenderse.
Tomemos el sencillo problema de dividir 22 entre 5. La respuesta es 4, y sobran 2. Aquí te mostramos los nombres más importantes:

O lo que es lo mismo:


División exacta y división inexacta

En una división exacta el resto siempre es igual a cero y el dividendo es igual al divisor por el cociente. ​
​
Dividendo = Divisor x Cociente


En una división inexacta el resto siempre es distinto de cero y menor que el divisor y el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.
​
​Dividendo = Divisor x Cociente + Resto

​Propiedad fundamental de la división
​
En una división, si multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente no varía. Si la división es inexacta, el resto queda multiplicado o dividido por ese mismo número.




División por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...)
​
Para dividir un número terminado en ceros entre la unidad seguida de ceros basta con tachar uno, dos o tres ceros del número respectivamente.


Multiplicación por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...)
Para multiplicar un número terminado en ceros basta con agregar al número tantos ceros como los que acompañen a la unidad.


 

OPERACIONES COMBINADAS

Prioridades

1ºEfectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes 

y llaves.

2ºCalcular las potencias y raíces.

3ºEfectuar los productos y cocientes.

4ºRealizar las sumas y restas.


1Operaciones combinadas sin paréntesis

1.1 Combinación de sumas y diferencias.

9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones 
según aparecen.
= 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7

1.2 Combinación de sumas, restas y productos.
3 · 2 - 5 + 4 · 3 - 8 + 5 · 2 =
Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 2 - 16 : 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los 
encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 10

1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 22 - 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 4 - 16 : 4 =
Seguimos con los productos y cocientes.
= 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 26

2Operaciones combinadas con paréntesis
(15 - 4) + 3 - (12 - 5 · 2) + (5 + 16 : 4) -5 + (10 - 23)=
Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.
= (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )=
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.
= 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = 18

3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes
[15 - (23 - 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 - (8 - 5 )] · [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) =
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
= [15 -3 ] · [5 + 2 ] - 3 + 2=
Operamos en los corchetes.
= 12 · 7 - 3 + 2
Multiplicamos.
= 84 - 3 + 2=
Restamos y sumamos.
= 83




Múltiplos y divisores de un número natural

Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales.
Ejemplo: son múltiplos del número 2 el 4,6,8,10,12,14,16,18,20,22 y muchos más los múltiplos son infinitos como son infinitos los números naturales.
Los múltiplos de un número resultan de multiplicar dicho número por cada uno de los naturales.



Múltiplos de 2:   0, 2, 4, 6, ...
Múltiplos de 6:   0, 6, 12, 18, ...
Múltiplos de 8:   0, 8, 16, 24, ...

Existen algunas reglas que permiten decidir si un número es múltiplo 
de otro.
Al observar la serie de los múltiplos de 2 se encuentra que todos son 
números pares, generalizando se puede decir que: Todo número par 
es múltiplo de 2.

Los números 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,.... son múltiplos de 3; observa que al sumar las cifras de los números 12, 15, 18, 21 se obtiene el número 3 o un múltiplo de 3:


 De esta manera, se concluye  lo siguiente:Un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras es 3 o un múltiplo de 3.
Los números 0, 10, 15, 20, 25, 30... son múltiplos de 5; todos ellos terminan en 0 y 5, por lo tanto, se dice que:
Un número es múltiplo de 5 cuando su última cifra es 0 ó 5.
Como todo número tiene sus múltiplos así también tienen sus divisores es decir otros números que lo dividen exactamente.
Observa los divisores de los siguientes números:

 Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10,
Divisores de 35: 1, 5, 7, 35
Divisores de 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66

 Los divisores de un número son los que dividen a éste en forma exacta.
El uno es divisor de todos los números.
Todo número es divisor de sí mismo.
Para determinar los divisores de un número, se buscan todos los números que lo dividen en forma exacta, es decir, el residuo debe ser cero.

 A continuación encontrarás algunas reglas que te harán saber cuando un número es divisible entre otro sin necesidad de estar haciendo la operación.


 A este conjunto de reglas le llamamos CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

 Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par.
8, 14, 54, 382, 1876 son divisibles por 2.
Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3, si la suma de los dígitos que lo componen, es múltiplo de tres.
6, 21, 69, 255, 1356 son divisibles por 3
Divisibilidad por 4: un número es divisible por cuatro si las dos últimas cifras (unidades y decenas) son dos ceros (00) o son divisibles por cuatro. Doce es divisible por cuatro por lo tanto 512 es divisible entre cuatro. Al igual que: 204 y 780, 7500...
Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 o 5.
Divisibilidad por 6: un número es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.

     

 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

 Mínimo común múltiplo de dos o más números 
El mínimo común múltiplo de dos números es el más pequeño de los múltiplos comunes a ambos. 
Múltiplos de 2:
2,4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,.....
Múltiplos de 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,.....
Observa que los números 6, 12,  y 18 se repiten en ambos casos y son 
al mismo tiempo, múltiplos del 2 y del 3.

El más pequeño de estos múltiplos comunes es el número 6, entonces 
se dice que 6 es el mínimo común múltiplo de 2 y 3, y lo escribimos así: 
m.c.m. (2 y 3) = 6.

Existe una manera mas práctica y fácil para hallar el m.c.m, sobre todo si se trata de números muy altos.
Consiste en descomponer cada número en factores primos y el mínimo común múltiplo será igual al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Para descomponer un número en sus factores primos se sigue el siguiente procedimiento
Se divide el número entre el número primo más pequeño que lo divida exactamente.

Se divide el cociente de la división anterior entre el siguiente número primo que dé división exacta.

Se continúan efectuando cálculos hasta llegar  a un cociente igual a uno.

El número que se descompuso en sus factores primos dede ser igual al producto de todos los divisores resultantes.

 Veamos un ejemplo:
Procedemos a descomponer al número 60
60 es divisible por varios números primos (o factores primos): 2, 3, 5
Tomemos el factor primo 2 para usarlo  como divisor de 60.
El resultado es 12, como 12 se puede seguir dividiendo...
Ahora se continua la división del residuo que se obtuvo, el 12, por el siguiente factor primo que corresponde, el 3. Observa el residuo es 4 y 4 puede ser de nuevo divisible, se divide entre 2 hasta llegar a un número que no admita mas divisores.
Observa que 60 se descompone en sus factores primos de la siguiente manera:
60 = 2 x 2 x 3 x 5 => 60 = 2 x 3 x 5
Observa otro ejemplo:
Calcular el mínimo común múltiplo entre los números  2, 5 y 10.


Máximo común divisor de dos o más números
Para hallar el máximo común divisor (m.c.d.) de varios números, se procede de la misma manera que para el m.c.m., con la diferencia de que luego de descomponer las cantidades dadas en sus factores primos, se toman de ellos, el producto de los factores comunes con su menor exponente.

Observa el siguiente:



 Números primos y compuestos

Los números primos son aquellos que tienen la propiedad de poseer 
únicamente dos divisores: el mismo número y el 1, que es divisor de todo número.

El 2, 3, 5, 7, 11 solo son divisibles por sí mismos y por 1.
El 3 es primo porque al igual que al 2 solo lo divide el propio número y la unidad.

 Son números primos el 2,3,5,7,11...

 Cuando un número primo se divide por sí mismo, el resultado es 1.

Y cuando un número primo se divide por 1, el resultado es el mismo número primo.




POTENCIA DE UN NÚMERO



Ya vimos en la lección anterior el cuadrado y el cubo de un número. Se trata de dos casos particulares de potencia.
Pero lo mismo que se puede elevar un número al cuadrado o al cubo, también se puede elevar a 4, a 7, a 10....
Potencia de un número es multiplicar dicho número por sí mismo tantas veces como indique el exponente.
La potencia se lee "base elevado al exponente". Los 3 ejemplos anteriores se leen:
2 elevado a 5
3 elevado a 4
5 elevado a 6
 Potencia en base 10

 Un caso particular de potencia es cuando la base es 10.


Como se puede apreciar en los ejemplos anteriores, en la potecia en base 10 el reultado siempre es igual a 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente.
En el primer ejemplo un 1 seguido de 5 ceros
En el segundo ejemplo un 1 seguido de 4 ceros
En el tercer ejemplo un 1 seguido de 6 ceros

Fracciones

Una fracción es una parte de un total, que es el entero.

Corta una pizza en trozos, y tendrás fracciones:

1/21/43/8
(Una mitad)
(Un cuarto)
(Tres octavos)
El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza.

Numerador / Denominador

Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes.
Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total.
Numerador
____________________
Denominador
¡Sólo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que denominador es con "D" de dividir)

Hay tres tipos de fracciones:


Fracciones propias:El numerador es menor que el denominador
Ejemplos: 1/3, 3/4, 2/7
Fracciones impropias:El numerador es mayor (o igual) que el denominador
Ejemplos: 4/3, 11/4, 7/7
Fracciones mixtas:Un número entero y una fracción propia juntos
Ejemplos: 1 1/3, 2 1/4, 16 2/5

FRACCIÓN PROPIA
 Se llama fracción propia a aquella fracción donde el numerador (el número de arriba) es menor que el denominador (el número de abajo). Ejemplo: 3/5 (tres quintos) y 5/6 (cinco sextos) son fracciones propias.
FRACCIÓN IMPROPIA
Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1. Ejemplo: 9/5 (nueve quintos) y 7/4 (siete cuartos), son fracciones impropias.
FRACCIÓN MIXTA
 Se llama fracción mixta a aquella fracción que está formada por una parte entera y una fraccionaria. Ejemplo: 1 3/4 (un entero tres cuartos), 2 1/3 (dos enteros un tercio).
 Las fracciones impropias son equivalentes a las fracciones mixtas. Ejemplo: 1 3/4 = 7/4

Fracciones impropias = Fracciones mixtas

Puedes usar una fracción impropia o una fracción mixta para escribir la misma cantidad. Por ejemplo 1 3/4 = 7/4, aquí se ve:
1 3/47/4
=

¿Las fracciones impropias son malas?

¡NO, no son malas! De hecho en matemáticas son mejores que las fracciones mixtas. Las fracciones mixtas se confunden cuando las escribes en una fórmula:
Fracción mixta:¿Cuánto es:1 + 2 1/4?
¿Es:1+2+1/4= 3 1/4 ?
¿O es:1 + 2 × 1/4= 1 1/2 ?
Fracción impropia:  ¿Cuánto es:1 + 9/4?
Es:4/4 + 9/4 = 13/4
Pero, para el uso de cada día, la gente entiende mejor las fracciones mixtas. Es más fácil decir "me comí 2 1/4salchichas" que "me comí 9/4 salchichas"

Pueden ser iguales

¿Qué pasa cuando el numerador y el denominador son iguales? Por ejemplo 4/4 ?
Bueno, está claro que es un entero, pero está escrito en forma de fracción, así que la gente dice que es una fracción impropia.

Convertir fracciones impropias en fracciones mixtas

Para convertir una fracción impropia en mixta, sigue estos pasos: 
  • Divide el numerador entre el denominador.
  • Escribe el cociente como un número entero.
  • Después escribe el resto encima del denominador.

Ejemplo: Convierte 11/4 en una fracción mixta.

Divide: 11 ÷ 4 = 2 con resto 3
Escribe el 2 y después escribe el resto (3) encima del denominador (4), así:
23
___
4

Convertir fracciones mixtas en fracciones impropias

Para convertir una fracción mixta en impropia, sigue estos pasos: 
  • Multiplica la parte entera por el denominador.
  • Súmalo al numerador.
  • Después escribe el resultado encima del denominador.

Ejemplo: Convierte 3 2/5 en fracción impropia.

Multiplica la parte entera por el denominador: 3 × 5 = 15
Súmalo al numerador: 15 + 2 = 17
Después escribe el resultado encima del denominador, así:
17
____
5

Comparar fracciones

A veces tenemos que comparar dos fracciones para saber cuál es mayor y 
cuál es menor. Hay dos maneras fáciles de comparar fracciones: usar 
decimales, o poner el mismo denominador.

El método del mismo denominador

Si dos fracciones tienen el mismo denominador (el número de 
abajo) entonces son fáciles de comparar.
Por ejemplo 4/9 es más pequeña que 5/9 (porque 4 
es menor que 5)
Pero si los denominadores no son iguales necesitas hacerlos iguales (usando Fracciones equivalentes).

Ejemplo: ¿Cuál es más grande: 3/8 o 5/12 ?

Si multiplicas 8 × 3 tienes 24, y si multiplicas 12 × 2 también 
tienes 24, así que probemos así (importante: lo que hagas abajo
tienes que hacerlo arriba también):
× 3
3
___		 = 9
___
824
× 3
y
× 2
5
____		 = 10
____
1224
× 2
así que vemos fácilmente que 10/24 es mayor que 9/24, por
 tanto 5/12 es mayor.

Cómo poner el mismo denominador

El truco es encontrar el Mínimo común múltiplo de los 
denominadores. En el ejemplo anterior, el mínimo común 
múltiplo de 8 y 12 era 24.
Entonces sólo es cuestión de cambiar cada fracción para hacer 
que su denominador se convierta en el mínimo común múltiplo.

Ejemplo: ¿Cuál es mayor: 5/6 o 13/15?

El mínimo común múltiplo de 6 y 15 es 30. Así que multipliquemos 
para hacer cada denominador igual a 30:
× 5
5
___		 = 25
___
630
× 5
y
× 2
13
____		 = 26
____
1530
× 2
Ahora vemos fácilmente que 26/30 es mayor que 25/30, así que 13/15 es la fracción más grande.

Fracciones en la recta numérica

1- Representar fracciones en la recta numérica
Para ubicar fracciones en la recta numérica se divide la unidad (entero) en segmentos iguales, como indica el denominador, y se ubica la facción según indica el numerador.

Por ejemplo:
fracciones_recta_numerica2.jpg (424×357)

Recuerda que en la recta numérica el mayor de dos números es el que está más a la derecha.

2- ¿Cómo representamos en la recta numérica fracciones con distinto denominador?
Representaremos : 
Fracciones_recta_numerica_3.jpg (118×52)
1° Dividimos la recta de 0 a 1 en tantos intervalos como nos indique el producto de los denominadores de las fracciones. En este caso serán 6 intervalos, ya que 2 • 3 = 6
2° Ubicamos ambas fracciones en la recta:
Fracciones_recta_numerica_4.jpg (475×404)
Cuándo son más de dos fracciones el método que se puede utilizar es igualar los denominadores utilizando fracciones equivalentes y luego ubicarlas en la recta numérica. Para esto se puede utilizar el método del mínimo común múltiplo.

3- Fracciones impropias en la recta numérica
Una fracción impropia es aquella en que el numerador es mayor que el denominador.
Para poder ubicar una fracción impropia en la recta numérica debemos transformarla a número mixto.
Recuerda que para pasar una fracción impropia a número mixto debes dividir el numerador de la fracción por el denominador . El resultado o cociente de esa división será el entero y el resto será el numerador de la fracción que acompañará al número entero, manteniendo siempre el mismo denominador de la fracción original.
Al convertirlas en número mixto, el entero que se obtiene nos indica entre que números enteros está la fracción impropia, y la fracción que nos resulta se ubica entre dichos números.
Veamos un ejemplo:
Representaremos  la fracción 5/3 en la recta numérica:
1° pasaremos la fracción impropia a número mixto:
fracciones_recta_numerica_mixto.jpg (305×215)
 El entero 1 nos indica que la fracción está entre el 1 y el 2. Por eso, ubicaremos la fracción original en ese segmento de la recta (del 1 al 2).
2°Luego se dividirá la recta en 3 partes, como indica el denominador y marcaremos donde se ubica la fracción             2 /3, ese punto equivale a la fracción original que se nos presentó 5 / 3.
fracciones_recta_numerica_mixto2.jpg (334×126)



Sumar fracciones
Puedes sumar fracciones fácilmente si el número de abajo (el denominador) es el mismo:
1/4+1/4=2/4=1/2
(Un cuarto)(Un cuarto)(Dos cuartos)(Una mitad)
Otro ejemplo:
5/8+1/8=6/8=3/4

Hay tres simples pasos para sumar fracciones:

Paso 1: asegúrate de que los números de abajo (los denominadores) son iguales
Paso 2: suma los números de arriba (los numeradores). Pon la respuesta sobre el denominador del paso 1
Paso 3: simplifica la fracción (si hace falta)

Ejemplo:

1
___		 + 1
___
44
Paso 1. Los números de abajo son los mismos. Ve directamente al paso 2.
Paso 2. Suma los números de arriba y pon la respuesta sobre el denominador:
1
____		 + 1
____		 = 1 + 1
_________		 = 2
____
4444
Paso 3. Simplifica la fracción:
2
______		 = 1
_____
42
(Si no estás seguro de cómo se hace el último paso ve a la página de Fracciones equivalentes)

Sumar fracciones con denominadores diferentes

¿Y si los denominadores no son iguales? Como en este ejemplo: 
3/8+1/4=?

Deberías hacer que los denominadores fueran iguales de alguna manera. En este caso es fácil, porque sabemos que 1/4 es lo mismo que 2/8 :
3/8+2/8=5/8
En ese ejemplo fue fácil hacer que los denominadores fueran el mismo, pero puede ser más difícil... visita las páginas de los métodos de

Ejemplo:

1
___		 + 1
___
36
Paso 1: los números de abajo son diferentes. Así que necesitamos hacerlos iguales.
Podemos multiplicar arriba y abajo de 1/3 por 2 así:
1
___		  =  2
___
36
y ahora los números de abajo (los denominadores) son iguales, nuestro problema queda así:
2
___		 + 1
___
66
Paso 2: suma los números de arriba y ponlos sobre el mismo denominador:
2
____		 + 1
___		 = 2 + 1
________		 = 3
____
6666
Paso 3: simplifica la fracción:
3
___		  =  1
___
62

Restar fracciones

Hay tres simples pasos para restar fracciones

Paso 1: asegúrate de que los números de abajo (los denominadores) son iguales
Paso 2: resta los números de arriba (los numeradores). Pon la respuesta sobre el denominador del paso 1
Paso 3: simplifica la fracción.

Ejemplo 1:

3
____		–1
____
44
Paso 1. Los números de abajo son los mismos. Ve directamente al paso 2.
Step 2. Resta los números de arriba y pon la respuesta sobre el denominador:
3
____		 – 1
____		 = 3 – 1
________		 = 2
____
4444

Paso 3. Simplifica la fracción:
2
____		=1
____
42
(Si no estás seguro de cómo se hace el último paso ve a la página de Fracciones equivalentes)

Ejemplo 2:

1
____		 – 1
____
210
Paso 1. los números de abajo son diferentes. Tenemos que hacerlos iguales.
Podemos multiplicar arriba y abajo de ½ por 5 así:
1
_____		 = 5
_____
210
y ahora los números de abajo (los denominadores) son iguales:
5
_____		 – 1
_____
1010
Paso 2. Resta los números de arriba y pon la respuesta sobre el denominador:
5
____		 – 1
____		=5 – 1
_______		=4
_____
10101010
Paso 3. Simplifica la fracción: 
4
_____		 = 2
_____
105

Hacer los denominadores iguales

En el ejemplo anterior fue fácil hacer que los denominadores fueran iguales, pero puede ser más difícil... así que necesitarás usar el
Los dos funcionan, ¡usa el que prefieras!

Fracciones equivalentes

Algunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, por ejemplo: 
4/8=2/4=1/2
(Cuatro octavos)(Dos cuartos)(Una mitad)
Normalmente lo mejor es dar la respuesta usando la fracción más simple (1/2 en este caso). Eso se llamaSimplificar o Reducir la fracción.
Las Fracciones Equivalentes tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes.
Estas fracciones son en realidad lo mismo:
1
____		 = 2
____		 = 4
____
248

¿Por qué son lo mismo? Porque cuando multiplicas o divide a la vez arriba y abajo por el mismo número, la fracción mantiene su valor. La regla a recordar es:

¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción
también lo tienes que hacer a la parte de abajo!

Por eso, estas fracciones son en realidad la misma:
× 2× 2
   
1
____		 = 2
____		 = 4
_____
248
   
× 2× 2
Y en un dibujo se ve así:
1/22/44/8
==

Aquí hay más fracciones equivalentes, esta vez dividiendo:
÷ 3÷ 6
   
18
_____		 = 6
______		 = 1
_____
36122
   
÷ 3÷ 6

Si seguimos dividiendo hasta que no podamos más, habremos simplificado la fracción (la hemos hecho la más simple posible).

Importante:

  • Las partes de arriba y abajo de la fracción siempre deben ser números enteros.
  • Las operaciones que podemos hacer son multiplicar y dividir (siempre las dos partes a la vez). Si sumamos o restamos un número arriba y abajo, no tendremos una fracción equivalente.
  • El número que elijas para dividir las dos partes no debe dejar ningún resto en las divisiones.

Simplificando Fracciones

Para simplificar una fracción, divide los números de arriba y abajo por el mayor número que
divida a los dos exactamente.

Simplificando Fracciones

Simplificar (o reducir) fracciones significa hacer la fracción lo más simple posible. ¿Por qué decir cuatro octavos (4/8) cuando en realidad quieres decir la mitad (1/2) ?
4/8==>2/4==>1/2
(Cuatro octavos)(Dos cuartos)(Un medio)

¿Cómo simplifico una fracción?

Hay dos maneras de simplificar una fracción:

Método 1

Intenta dividir los números de arriba y abajo de la fracción a la vez hasta que no puedas seguir más (prueba a dividirlos por 2,3,5,7,... etc). 

Ejemplo: Simplifica la fracción 24/108:

÷ 2÷ 2÷ 3
      
24
______		 = 12
_____		 = 6
_____		 = 2
_____
10854279
       
÷ 2÷ 2÷ 3

Método 2

Divide las dos partes de la fracción por el Máximo Factor Común (¡tienes que calcularlo primero!). 

Ejemplo: Simplifica la fracción 8/12:


1. El mayor número que divide exactamente 8 y 12 es 4 (¿por qué?), así que el Máximo Factor Común es 4. 

2. Divide arriba y abajo por 4:
÷ 4
 
8
____		 = 2
____
123
 
÷ 4
Y la respuesta es: 2/3 

Multiplicar fracciones

Hay 3 simples pasos para multiplicar fracciones

1. Multiplica los números de arriba (los numeradores).
2. Multiplica los números de abajo (los denominadores).
3. Simplifica la fracción.

Ejemplo 1

1
___		×2
___
25
Paso 1. Multiplica los números de arriba:
1
____		×2
____		=1 × 2
_______		=2
____
25
Paso 2. Multiplica los números de abajo:
1
___		×2
___		=1 × 2
________		=2
____
252 × 510
Paso 3. Simplifica la fracción:
2
____		=1
____
105
(Si no estás seguro de cómo se hace el último paso ve a la página de Fracciones equivalentes)
Ejemplo 2
1
____		×9
____
316
Paso 1. Multiplica los números de arriba:
1
____		×9
____		=1 × 9
________		=9
____
316
Paso 2. Multiplica los números de abajo:
1
____		×9
____		=1 × 9
_________		=9
____
3 163 × 1648
Paso 3. Simplifica la fracción:
9
____		= 3
____
4816

Fracciones mixtas

También puedes leer cómo Multiplicar fracciones mixtas

Dividir fracciones

Dale la vuelta a la segunda fracción y multiplica.

Hay 3 simples pasos para dividir fracciones:

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (por la que quieres dividir) (ahora es la recíproca).
Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda.

Paso 3. Simplifica la fracción (si hace falta)

Ejemplo 1

1
____		÷1
____
24

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):
1
_____		4
_____
41

Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:
1
____		×4
_____		=1 × 4
________		=4
____
212 × 12
Paso 3. Simplifica la fracción:
4
____		=2
2
(Si no estás seguro de cómo se hace el último paso ve a la página de Fracciones equivalentes)

Ejemplo 2

1
____		÷1
____
84

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):
1
____		4
____
41

Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:
1
____		×4
____		=1 × 4
________		=4
____
818 × 18

Paso 3. Simplifica la fracción:
4=1
82


Decimales

Un número decimal (en base 10) contiene un punto decimal.

Valor posicional

Para entender los números decimales primero tienes que conocer la notación posicional.
Cuando escribimos números, la posición (o "lugar") de cada número es importante.
En el número 327:
  • el "7" está en la posición de las unidades, así que vale 7 (o 7 "1"s),
  • el "2" está en la posición de las decenas, así que son 2 dieces (o veinte),
  • y el "3" está en la posición de las centenas, así que vale 3 cientos.
Notación posicional
"Trescientos veintisiete"
izqCuando vamos a la izquierda, cada posición vale ¡10 veces más!
De unidades, a decenas, a centenas
... y ...
Cuando vamos a la derecha, cada posición es 10 veces más pequeña.dcha
De centenas, a decenas, a unidades

decimales-décimos
¿Pero qué pasa si seguimos después de las unidades?
¿Qué es 10 veces más pequeño que las unidades?
¡1/10 (décimos)!

Pero tenemos que poner un punto decimal (o coma decimal, depende de dónde vivas), para que sepamos exactamente dónde está la posición de las unidades:décimos
"Trescientos veintisiete y cuatro décimos"
¡Y eso es un número decimal!

Punto decimal

El punto decimal es la parte más importante de un número decimal. Está exactamente a la derecha de la posición de las unidades. Sin él, estaríamos perdidos y no sabríamos cuál es cada posición.
Ahora podemos seguir con valores más y más pequeños, como décimas, centésimas, y más, como en este ejemplo:


Con nuestro sistema decimal podemos escribir números tan grandes o pequeños como queramos, usando el punto decimal. Podemos poner cifras a la izquierda o derecha del punto decimal, para indicar valores mayores que uno o menores que uno.
El número a la izquierda del punto decimal es un número entero.
Cuando vamos a la izquierda, cada número vale 10 veces más.
La primera cifra a la derecha del punto significadécimos o décimas (1/10).
Cuando nos movemos más a la derecha, cada cifra vale 10 veces menos (un décimo de la anterior).

Definición de decimal

La palabra "Decimal" quiere decir "basado en 10" (de la palabra latina décima: una parte de diez).
A veces decimos "decimal" cuando hablamos de nuestro sistema de números, pero un "número decimal" normalmente tiene un punto decimal.

Cómo entender los números decimales...

... como un número entero más décimas, centésimas, etc.

Puedes pensar que un número decimal es un número entero más décimas, centésimas, etc.:

Ejemplo 1: ¿ Qué es 2,3 ?

  • A la izquierda hay "2", esa es la parte entera.
  • El 3 está en el sitio de los "décimos", así que son "3 décimos", o 3/10
  • Así, 2,3 es "2 y 3 décimos"

Ejemplo 2: ¿ Qué es 13,76 ?

  • A la izquierda hay "13", esa es la parte entera.
  • Hay dos cifras en la parte derecha, el 7 en el sitio de las "décimas", y el 6 en el sitio de las "centésimas"
  • Así que 13,76 es "13 y 7 décimas y 6 centésimas"

... como una fracción decimal

O puedes entender un número decimal como una fracción decimal.
Una fracción decimal es una fracción donde el denominador (el número de abajo) es 10, 100, 1000, etc. (o sea, una potencia de diez).

Así que "2,3" sería así:
23
_____
10
Y "13,76" sería así:
1376
_______
100

... como un número entero y una fracción decimal

O puedes pensar en un número decimal como un número entero más una fracción decimal.
Así que "2,3" sería:
2 y 
3
____
10
Y "13,76" sería:
13 y 
76
_____
100


Cada número decimal   tiene dos partes separadas por el punto decimal. La parte izquierda del punto decimal es la parte del número entero , y la parte derecha del punto decimal contiene la parte fraccionaria. Por ejemplo, el número 33.45
33 es la parte entera, el número entero. 
45 es la parte fraccionaria.
    Cada dígito  de la parte derecha del punto decimal ocupa una posición con un valor posicional fraccionario.  Para leer la parte fraccionaria de un número decimal,  notamos la posición donde  el último dígito  aparece.  El valor posicional  nos indica si estamos utilizando décimas, centésimas o milésimas, etc.  Los dígitos indican cuántas décimas, centésimas o milésimas tenemos.
Ejemplo:
 
Convertir los decimales a palabras y   a fracción.
  
Forma Decimal
Forma en palabras
Forma Fraccionaria Simplificada
0.55 décimas 5   ÷ 5   =  1
10    5       2
0.23 23 centésimas23
100
0.133 133 milésimas133
1000
43.5643 y 56 centésimas43  56  =  4356÷ 4  = 1089
     100       100    4         25

 Ejemplos:
 

Escribir 0.014 como una fracción simplificada
Para simplificar una fracción, se divide el numerador y denominador por un número  que los divide en común.
 
Solución:

0,014 =   14     :     2       =        7
             -------      ------           --------
             1000         2               500 
Como  miramos la parte fraccionaria, vemos que es .014 La posición indica que es 14 milésimas. Por lo tanto,  la fracción es 14/1000.
  
Escribir    0.94   como una fracción simplificada.
 
Solución:

 0,94    =     94      :    2       =    47
              --------        ----          ------  
                100          2             50    

Ejemplo:  Escribir _24__ como  número decimal. 
                             1000
Note que el 0 es a veces posicionado  en la parte izquierda del punto decimal donde no hay parte  entera del número.  Esto es hecho simplemente para llamar la atención a la localización del punto decimal y es la notación internacional aceptada.
               24   = 0.024 
              1000 
Ejemplo: Escriba 3.55 en palabras.

Solución:  3.55 significa  3 y 55 centésimas

Note que al leer un número decimal decimos  "y"   cuando alcanzamos el punto decimal. Esto señala que hemos terminado con la parte del número entero y nos estamos moviendo  para leer la parte fraccionaria.
 
Ejemplo: Escriba 12.433 en palabras.
Solución:    12.433 significa    12 y 433 milésimas
 
Ejemplo: Escriba 23.5 en palabras.
Solución:   23.5 significa  23 y 5 décimas. 

Redondear Números Decimales

    A veces es necesario redondear  a un lugar en particular. Debemos mirar el número que está a  la derecha de lo que queremos redondear primero. Si deseamos redondear un número decimal a la décima, debemos fijarnos del núkmero a la centésima. Si deseamos redondear a la centésima, debemos mirar al número a la milésima, etc.
Pasos para redondear números:
1. Fíjate en el dígito que está en la posición inmediatamente a la derecha de la posición de  donde queremos redondear el número. 
 2. Si el dígito en esta posición es menor que 5, deja el dígito a redondear tal como está. 
3. Si el dígito en la posición a la derecha es igual o mayor que 5, suma 1 al dígito en la posición del redondeo. 
4. Eliminar todos los dígitos a la derecha del lugar a redondear. 
                                          
Ejemplo:  Redondear 23.45 a la décima.

Solución:  El dígito  en el lugar de la centésima es 8, y 8 > 5, así que
                                23.45  es redondeado a 23.5 

Suma de Decimales:
    En la suma de números decimales,  tenemos que alinear los puntos decimales y añadir  dígitos de 0 en la columna que falta. Por ejemplo: 

a.     3.45 + 0.8
                                                3.45 
                                          +    0.80 
                                                4.25

Se le añadieron los ceros donde faltaba, pero siempre recordando que el punto decimal debe estar alineado.

b.  2.15 + 78.123
                                           78.123 
                                       +  02.150 
                                           80.273 

c.  0.23 + .002135
                                         0 .002135 
                                    +   0.230000 
                                         0.232135 

Resta de Decimales 

     En la resta de decimales, es similar a la  adición. 

Ejemplo a.    0.4 - 0.2 
                                        0.4 
                                     -  0.2 
                                        0.2 

Ejemplo b.    245.67 - 3.15
                                    245.67 
                                 -  003.15 
                                    242.52 




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